且是上的单金沙娱乐js333.com值函数

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文章关键词:金沙js333娱乐场,有向曲面

  曲线、问:曲线积分,曲面积分都有两种类型,定积分、重积分是否可分类型?两类积分的本质区别是什么?

  答曲线积分或曲面积分的两种类型,主要根据积分曲线(或曲面)是否有向、被积函数是数量函数还是向量函数来区分,但最主要的还是根据积分曲线(或曲面)是否有向来区分。由此,所有积分可以分为两大类,即积分范围是无向图形的和积分范围是有向图形的。重积分的积分范围是无向的,定积分的范围是向的。所有无向积分的性质同于a<b时定积分,所有有向积分的性质,同于定积分。

  积分范围无向的积分的本质特征是积分元素非负(是面积元素、长度元素、体积元素)。积分范围向的积分的本质特征是积分元素带有正负号(是曲线或曲面在相应坐标轴,坐标面上的投影元素)。

  两类积分的本质差异导致了在将重积分、第一类曲线积分化为定积分计算时,每次定积分的下限必须小于上限;

  而将第二类曲线积分化为定积分计算时,积分的下限是曲线起点参数,上限是终点参数;将第二类曲面积分化为二重积分计算时,根据曲面的侧,二重积分前要加相应的正负号。

  2、问:何种积分可以利用积分范围和被积函数的对称性来简化计算,具体做法如何?

  答积分范围无向的积分(即第一类积分)都可利用积分范围和被积函数的对称性来简化计算。以二重积分为例说明方法如下:

  因为积分范围有向的积分(即第二类积分)不仅与积分曲线、积分曲面和被积函数有关,还与积分范围的方向有关,所以利用对称性化简积分比较复杂,直接利用时要谨慎。一般在将其化为定积分,二重积分、三重积分之后,再利用相应的对称性来简化计算,比较保险。

  答计算三重积分,常用直角坐标、柱面坐标、球面坐标,选择某种坐标系的一般原则是:

  (1)积分区域的边界曲面在该坐标系中的方程比较简单。(当边界曲面为该坐标系中的坐标面时,方程最简单。)(2)被积函数在该坐标系中的表达式比较简单,而且化为三次积分后,各次积分易计算。

  为了选择恰当的坐标系,应该了解一些常见的曲面在何种坐标系中的方程比较简单。金沙娱乐js333.com以及常见坐标运算式子在不同坐标系中的表示。例如

  x 2+y 2在柱面坐标系中为r 2,在球面坐标系中为;在柱面坐标系中为r 2 + z 2,在球面坐标系中为r 2。

  有了这些基本认识,就可较迅速,准确地选用恰当的坐标系。一般地,金沙娱乐js333.com当Ω由圆柱面围成(或更一般地,Ω在平面上的投影区域为圆域)且被积函数中含有这样的式子时,可选用柱面坐标。当Ω由球面,圆锥面等围成,且被积函数中含有,这样的式子时,可考虑用球面坐标。但具体到一个题目,还要视情况灵活处理。

  答(1)第一类曲面积分的积分元素ds是曲面的面积元素,它相应于三的不同方程有不同的表达形式,因此,金沙娱乐js333.com将第一类曲面积分化为哪个坐标平面内的有界闭区域上的二重积分,要根据的方程形式而定,具体地,若,其中是在平面上的投影区域,且是上的单值函数,则

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